Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，B，F分別是它的上頂點和右焦點．橢圓C上的點到點F的最短距離為2．圓M是過點B，F的所有圓中面積最小的圓．
（1）求橢圓C和圓M的方程；
（2）從圓外一點P引圓M的切線PQ，切點為Q，且有|PQ|=|PO|，O是坐標原點，求|PF|的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接利用條件得到關于a，c的方程，解出a，c的值即可求出橢圓C的方程；再利用過B，F的所有圓中，以BF為直徑的圓面積最小，求出對應圓M的方程；
（2）先利用條件求得點P在直線x+

3

y=0上，再把|PF|的最小值轉化為點F到直線x+

3

y=0的距離即可．

解答：解：（1）依題意有：

c a = 1 2 a-c=2.

（2分）
解得a=4，c=2．得b²=12．
所以橢圓C的方程為：

x2

16

+

y2

12

=1．（4分）
B（0，2

3

），F（0，2），過B，F的所有圓中，
以BF為直徑的圓面積最小，
所以圓M的方程為(x-1)2+(y-

3

)2=4．（7分）
（2）設P（x₁，y₁），
則|PQ|²=|PM|²-R²=(x1-1)2+(y1-

3

)2-4，|PQ|²=x₁²+y₁²．
因為|PQ|=|PO|，得x1+

3

y1=0．（10分）
所以點P在直線x+

3

y=0上，
故|PF|的最小值即為點F到直線x+

3

y=0的距離（12分）
故|PF|的最小值

|2 3 |

1+3

=

3

．（14分）

點評：本題是對圓和橢圓的綜合考查．在做這一類型題時，一定要認真讀題，理解題意．