Question

（本題滿分14分）已知函數（為常數,）．

(Ⅰ)當時，求函數在處的切線方程；

(Ⅱ)當在處取得極值時，若關于的方程在[0，2]上恰有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍；

(Ⅲ)若對任意的，總存在，使不等式成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)實數的取值范圍為．

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用

（1）利用導數的幾何意義，表示切線的斜率和點的坐標，進而得到切線方程。

（2）求解導數，運用導數的符號與函數單調性的關系得到極值的判定。并解決問題。

（3）當時，，

∴ f(x) 在上單調遞增，最大值為，于是問題等價于：

對任意的，不等式恒成立

運用導數來完成恒成立的證明。

解：.

(Ⅰ)當a=1時，，∴，∴切線方程為；

(Ⅱ)由已知，得且，∴，∵a>0，∴a=2．∴，f(x)在上單調遞減，在上單調遞增

又，∴  （8分）

(Ⅲ)當時，，

∴ f(x) 在上單調遞增，最大值為，于是問題等價于：

對任意的，不等式恒成立．（10分）

記，（）

則，

當時，，∴在區間上遞減，此時，，

∴時不可能使恒成立，故必有，∵

若，可知在區間上遞增，在此區間上有g(a)>g(1)=0滿足要求；

若，可知在區間上遞減，在此區間上，有，與恒成立矛盾，

所以實數的取值范圍為．（14分）