Question

（2012•浦東新區二模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA⊥BC．
（1）若BA=BB₁，求證：AB₁⊥平面A₁BC；
（2）若BA=BC=BB₁=2，M是棱BC上的一動點．試確定點M的位置，使點M到平面A₁B₁C的距離等于

2

2

．

Answer 1

分析：（1）當BA=BB₁時，AB₁⊥A₁B．由BC⊥BA，BC⊥BB₁，且BA∩BB₁=B，知BC⊥平面ABB₁．由此能證明AB₁⊥平面A₁BC．
（2）建立空間直角坐標系，得C（0，0，2）、B₁（0，2，0）、A₁（2，2，0）、設M（0，0，h）．設平面A₁B₁C的法向量為

n

=(u ， v ， w)，則

n

⊥

CB1

，

n

⊥

A1B1

．得平面A₁B₁C的一個法向量為

n

=(0 ， 1 ， 1)，由此能求出點M到平面A₁B₁C的距離．

解答：（1）證明：當BA=BB₁時，AB₁⊥A₁B．
又∵BC⊥BA，BC⊥BB₁，且BA∩BB₁=B，
∴BC⊥平面ABB₁．
而AB₁?平面ABB₁，∴AB₁⊥BC．
∴由

AB1⊥A1B AB1⊥BC A1B∩BC=B

，
得到AB₁⊥平面A₁BC．
（2）解：如圖所示，建立空間直角坐標系，
可得有關點的坐標為C（0，0，2）、B₁（0，2，0）、A₁（2，2，0），
設M（0，0，h）．設平面A₁B₁C的法向量為

n

=(u ， v ， w)，
則

n

⊥

CB1

，

n

⊥

A1B1

．
∵

CB1

=（0，2，-2），

A1B1

=(-2 ， 0 ， 0)，
且

n

•

CB1

=0 ， 

n

•

A1B1

=0，
∴

2v-2ω=0 -2μ=0

，∴

ω=v μ=0

，取ω=v=1，
得平面A₁B₁C的一個法向量為

n

=(0 ， 1 ， 1)，
且|

n

|=

2

，又∵

MB1

=(0，2，-h)，
于是點M到平面A₁B₁C的距離d=

| n • MB1 |

| n |

=

|0×0+1×2-h|

2

=

|2-h|

2

=

2

2

⇒h=1，或h=3（舍）
所以，當點M為棱BC的中點時，點M到平面A₁B₁C的距離等于

2

2

．

點評：本題考查點、線、面間的距離的計算，解題時要認真審題，注意合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運用．