Question

【題目】已知函數
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）設a＞0，求函數f（x）在[2a，4a]上的最小值；
（3）某同學發現：總存在正實數a、b（a＜b），使ab=ba ， 試問：他的判斷是否正確？若不正確，請說明理由；若正確，請直接寫出a的取值范圍（不需要解答過程）．

Answer 1

【答案】
（1）解：定義域為（0，+∞）， ，

令 ，則x=e，

當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	↗		↘

∴f（x）的單調增區間為（0，e）；單調減區間為（e，+∞）

（2）解：由（1）知f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，所以，

當4a≤e時，即 時，f（x）在[2a，4a]上單調遞增，∴f（x）min=f（2a）；

當2a≥e時，f（x）在[2a，4a]上單調遞減，∴f（x）min=f（4a）

當2a＜e＜4a時，即 時，f（x）在[2a，e]上單調遞增，f（x）在[e，4a]上單調遞減，

∴f（x）min=min{f（2a），f（4a）}．

下面比較f（2a），f（4a）的大小，

∵ ，

∴若 ，則f（a）﹣f（2a）≤0，此時 ；

若 ，則f（a）﹣f（2a）＞0，此時 ；

綜上得：

當0＜a≤1時， ；

當a＞1時，

（3）解：正確，a的取值范圍是1＜a＜e

理由如下，考慮幾何意義，即斜率，當x→+∞時，f（x）→0

又∵f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減

∴f（x）的大致圖象如右圖所示

∴總存在正實數a，b且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），即 ，即ab=ba．

【解析】（1）先確定函數的定義域，再利用導數，可求函數f（x）的單調區間；（2）根據f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，結合函數的定義域，分類討論，可求函數f（x）在[2a，4a]上的最小值；（3）a的取值范圍是1＜a＜e，利用f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，即可求得．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．