Question

已知F₁、F₂是橢圓+=1的左右焦點，弦AB過F₁，若△ABF₂的周長為12，則橢圓的方程為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據橢圓的定義，得出△ABF₂的周長為（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=4a，結合題意解出a=3，再代入題中的方程即可得到該橢圓的標準方程．
解答：解：∵橢圓的方程是+=1，∴橢圓的焦點在x軸上
根據橢圓的定義，得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
∴△ABF₂的周長為|AB|+|AF₂|+|BF₂|=（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=4a
結合題意△ABF₂的周長為12，得4a=12，解之得a=3
將a=3代入橢圓方程，得
故答案為：
點評：本題給出橢圓經過左焦點的弦AB，在已知AB與右焦點構成的三角形周長情況下求橢圓的標準方程．著重考查了橢圓的定義與標準方程等知識，屬于基礎題．