Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的周長為8，其對(duì)角線的端點(diǎn)，.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）已知點(diǎn)，記直線與曲線的另一交點(diǎn)為，直線，分別與直線交于點(diǎn)，.證明：以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

(1)由橢圓的定義得到點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓（除去長軸端點(diǎn)），結(jié)合橢圓的性質(zhì)得到參數(shù)值；（2）將直線設(shè)為橫截式，聯(lián)立直線和橢圓方程，設(shè)出直線PA,PE,可得到，，根據(jù)韋達(dá)定理得到結(jié)果為0，進(jìn)而得到線段為直徑的圓恒過點(diǎn).

（1）依題意得

∴點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓（除去長軸端點(diǎn)）

設(shè)的方程為

∴，，

∴

（2）設(shè)直線的方程為，，

由得

易得，∴，

，

∴直線的方程為，直線的方程為

∴，.

∴，，∴

又

∴

∴∴以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).