Question

已知橢圓C：（a＞b＞0），直線l過點A（a，0）和
B（0，b）．
（1）以AB為直徑作圓M，連接MO并延長，與橢圓C的第三象限部分交于N，若直線NB是圓M的切線，求橢圓的離心率；
（2）已知三點D（4，0），E（0，3），G（4，3），若圓M與△DEG恰有一個公共點，求橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求橢圓的離心率，只需找到a，c的齊次式，根據直線NB是圓M的切線，則直線NB與直線AB垂直，斜率等于AB斜率的負倒數，得到直線NB的方程，再求出直線MO的方程，與直線NB聯立，解為N點坐標，又因為N點在橢圓上，代入橢圓方程，即可得到含a，c的方程，解出離心率．
（2）圓M與△DEG恰有一個公共點，圓M與直線DE相切圓在直線DE的下方，由此可得兩個含a，b的方程，解方程組可得．
解答：解：（1）∵A（a，0），B（0，b），∴M（，）
∴直線MO方程為y=x
∵直線AB斜率為-，直線NB是圓M的切線，∴直線NB的斜率為
∴直線NB方程為y=x+b
由得N（，）
又∵N點在橢圓上，∴
化簡，得2b⁴=（b²-a²）²
2a⁴-4a²c²+c⁴=0，∴e⁴-4e²+2=0
e²=2-，∴e=
（2）∵圓M與△DEG恰有一個公共點，∴圓M與直線DE相切圓在直線DE的下方，
∴b=a，
直線DE的方程為，即3x+4y-12=0
∴=
把b=a代入，化簡，得，a=2，∴b=
橢圓方程為
點評：本題考查了橢圓離心率的求法，以及橢圓與圓的綜合問題，綜合性強．