Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱長都相等，點D，E分別是BC與B₁C₁的中點．
（1）求證：平面A₁EB∥平面AC₁D；
（2）若點M在棱BB₁上，且BM=

1

4

BB1，求證：平面AMD⊥平面AC₁D．

Answer 1

分析：（1）由正三棱柱的幾何特征，及三角形中位線定理，可得EBDC₁和AA₁DE均為平行四邊形，進而得到EB∥DC₁，A₁E∥AD，由線面平行的判定定理可得EB∥平面AC₁D，A₁E∥平面AC₁D，進而由面面平行的判定定理得到平面A₁EB∥平面AC₁D；
（2）D是BC的中點，且AB=AC，結合等腰三角形三線合一可得：AD⊥BC，由面ABC⊥面B₁BCC₁，結合面面垂直的性質可得AD⊥面面B₁BCC₁，從而AD⊥DC₁，則∠MDC₁為二面角M-AD-C₁的平面角，解三角形MDC₁可得答案．

解答：證明：（1）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因為D，E分別是BC，B₁C₁的中點，
可知BD∥EC₁，BD=EC₁，則EBDC₁為平行四邊形，
故EB∥DC₁，
∵EB?平面AC₁D，DC₁?平面AC₁D，
∴EB∥平面AC₁D
又AA₁∥BB₁∥ED，AA₁=BB₁=ED
∴AA₁DE為平行四邊形
∴A₁E∥AD，
∵A₁E?平面AC₁D，AD?平面AC₁D，
∴A₁E∥平面AC₁D，
又EB∩A₁E=E，EB，A₁E?平面A₁EB
∴平面A₁EB∥平面AC₁D…（7分）
（2）∵D是BC的中點，且AB=AC
∴AD⊥BC，又面ABC⊥面B₁BCC₁，面ABC∩面面B₁BCC₁=BC
∴AD⊥面面B₁BCC₁，從而AD⊥DM，AD⊥DC₁
∴∠MDC₁為二面角M-AD-C₁的平面角
設正三棱柱的棱長為1，可求DM=

5

4

，DC₁=

5

2

，MC₁₌

5

4

有DM²+DC₁²=CC₁²，
∴∠MDC₁為=

π

2

∴平面平面AMD⊥平面AC₁D．…（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面關系的判定，性質及幾何特征是解答的關鍵．