Question

已知二次函數g（x）對任意實數x都滿足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．
（1）求g（x）的表達式；
（2）設1＜m≤e，H（x）=g（x+

1

2

）+mlnx-（m+1）x+

9

8

，求證：H（x）在[1，m]上為減函數；
（3）在（2）的條件下，證明：對任意x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

Answer 1

分析：（1）設出二次函數g（x），將已知條件代入g（x）的解析式，列出關于待定系數的方程，解方程求出各個系數，得到g（x）的解析式．
（2）將（1）中g（x）的解析式代入H（x），求出H（x）的導函數，根據自變量的范圍，判斷出H（x）的導函數的符號，判斷出函數的單調性，得證．
（3）利用（2），H（x）的單調性，將要證的不等式化為關于m的不等式恒成立，構造新函數h（x），求出h（x）的導數，判斷出導函數的符號，從而得到h（x）的單調性，求出h（x）的最大值，得到要證的不等式．

解答：解：（1）設g（x）=ax²+bx+c
于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2
所以

a= 1 2 c=-1

又g（1）=-1
所以b=-

1

2

所以g(x)=

1

2

x2-

1

2

x-1 
（2）H(x)=

1

2

x2+mlnx-(m+1)x，  (1＜m≤e)  
因為對?x∈[1，m]，
H′(x)=

(x-1)(x-m)

x

≤0
故H（x）在[1，m]上為減函數  
（3）由（2）得：H（x）在[1，m]上為減函數則：
|H（x₁）-H（x₂）|＜1?

1

2

m2-lnm-

1

2

＜1?

1

2

m-lnm-

3

2m

＜0
記h(m)=

1

2

m-lnm-

3

2m

(1＜m≤e)，
則h′(m)=

1

2

-

1

m

+

3

2m2

=

3

2

(

1

m

-

1

3

)2+

1

3

＞0
所以h(m)=

1

2

m-lnm-

3

2m

(1＜m≤e)是單調增函數，

所以h(m)≤h(e)=

e

2

-1-

3

2e

=

(e-3)(e+1)

2e

＜0，故命題成立

點評：求函數模型已知的函數的解析式，一般用待定系數法求；利用導數判斷函數的單調性，導函數大于0，對應的是函數的單調遞增區間；導函數小于0對應的是函數的單調遞減區間；解決不等式恒成立問題，一般轉化為函數的最值問題．