Question

有兩個相同的直三棱柱，高為

2

a

，底面三角形的三邊長分別為3a，4a，5a（a＞0），用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意拼成一個三棱柱，求出表面積，拼成一個四棱柱，3種情況分別求出表面積，然后確定a的值．

解答：解：①拼成一個三棱柱時，有三種情況，將上下底面對接，其全面積為S三棱柱表面=2×

1

2

×3a×4a+(3a+4a+5a)×

4

a

=12a2+48．
3a邊可以合在一起時，S三棱柱表面=2×2×

1

2

×3a×4a+2(5a+4a)×

2

a

=24a2+36
4a邊合在一起時S三棱柱表面=2×2×

1

2

×3a×4a+2(5a+3a)×

2

a

=24a2+32．
②拼成一個四棱柱，有三種情況，就是分別讓邊長為3a，4a，5a所在的側面重合，其上下底面積之和都是2×2×

1

2

×3a×4a=24a2，但側面積分別為：2(4a+5a)×

2

a

=36，2(3a+5a)×

2

a

=32，2(3a+4a)×

2

a

=28，
顯然，三個是四棱柱中全面積最小的值為：S四棱柱表面=2×2×

1

2

×3a×4a+2(3a+4a)×

2

a

=24a2+28．
由題意，得24a²+28＜12a²+48，
解得0＜a＜

15

3

．
故答案為：0＜a＜

15

3

點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積，考查空間想象能力，計算能力，是基礎題．