Question

【題目】在△DEF中，DE＝DF，點B在EF邊上，且∠EBD＝60°，C是射線BD上的一個動點(不與點B重合，且BC≠BE)，在射線BE上截取BA＝BC，連接AC．

（1）當點C在線段BD上時，

①若點C與點D重合，請根據題意補全圖1，并直接寫出線段AE與BF的數量關系為________；

②如圖2，若點C不與點D重合，請證明AE＝BF＋CD；

（2）當點C在線段BD的延長線上時，用等式表示線段AE，BF，CD之間的數量關系，不用證明．

Answer 1

【答案】（1）①圖見解析；②證明見解析；（2）AE＝BF－CD（或AE＝CD－BF.）

【解析】

試題

（1）①按要求補全圖形如圖3，由已知條件易證△ABD是等邊三角形，再證△DBE≌△DAF，可得BE=AF，從而可得AE=BF；②如圖2，在BE上截取BG＝BD，連接DG，易證△GBD、△ABC都是等邊三角形，再證△DGE≌△DBF即可得到所求結論；

（2）如圖5、圖6，當點C在BD延長線上時，需分點A在線段BE上和線段BE的延長線上兩種情況分析討論，由已知條件易證△CAB和△DGB都是等邊三角形，由此易得DC=AG；再證△DGE≌△DBF可得DG=BF，即可得到DC、AE、BF間的數量關系.

（1）①補全圖形如圖3所示：

∵BA=BC，∠EBD=60°，

∴△ABD為等邊三角形，

∴∠DAB=∠DBA=60°，DB=DA，

∵DE=DF，

∴∠E=∠F，

∴△DBE≌△DAF，

∴BE=AF，

∴BE-AB=AF-AB，即AE＝BF；

②如圖4，在BE上截取BG＝BD，連接DG

∵∠EBD＝60°，BG＝BD，

∴△GBD是等邊三角形．

同理，△ABC也是等邊三角形．

∴AG＝CD.∵DE＝DF，

∴∠E＝∠F.

又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，

∴∠DGE＝∠DBF＝120°.

∴△DGE≌△DBF，

∴GE＝BF，

∴AE＝BF＋CD.

（2）如圖5、圖6，當點C在BD延長線上時，需分點A在線段BE上和線段BE的延長線上兩種情況分析討論，

①當點A在線段BE上時，在線段BE上截取BG=BD，連接DG，

∵∠DBE=60°，BA=BC，BG=BD，

∴△CBA、△DBG都是等邊三角形，BA-BG=BC-BD，

∴∠DGB=∠DBG=60°，AG=CD，

∴∠DGE=∠DBF，

∵DE=DF，

∴∠E=∠F，

∴△DGE≌△DBF，

∴GE=BF，

∴AE=GE-AG=BF-CD；

②同理，如圖6，可得AE=CD-BF；

綜上所述，當點C在線段BD的延長線上時，AE＝BF－CD（或AE＝CD－BF）.