Question

【題目】已知下圖中，四邊形 ABCD是等腰梯形， ， ，O、Q分別為線段AB、CD的中點，OQ與EF的交點為P，OP=1，PQ=2，現將梯形ABCD沿EF折起，使得，連結AD、BC，得一幾何體如圖所示．

(Ⅰ)證明：平面ABCD平面ABFE；

(Ⅱ)若上圖中， ，CD=2，求平面ADE與平面BCF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】試題分析：(1)先根據， 得⊥平面，故，結合勾股定理，由線面垂直判定定理可得 平面，由面面垂直判定定理可得結論；（2）以為原點， 所在的直線為軸建立空間直角坐標系，可求得面的一個法向量，面的一個法向量，求出向量夾角即可.

試題解析： (1)證明：在圖中，四邊形為等腰梯形， 分別為線段的中點，

∴為等腰梯形的對稱軸，又// ，

∴、，①

在圖中，∵，∴

由①及，得⊥平面，∴，

又，∴ 平面，

又平面，∴平面平面；

(2)在圖中，由 ， ，易得， ，

以為原點， 所在的直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

則、、

得，

設是平面的一個法向量，

則，得，

取，得

同理可得平面的一個法向量

設所求銳二面角的平面角為，

則=

所以平面ADE與平面所成銳二面角的余弦值為．