Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，底面ABCD，，，E、F分別是PC和AB的中點．

（1）證明：平面PAD；

（2）若，求PD與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）

【解析】

（1）在平面PAD中尋找EF的平行線，由線線平行，推證線面平行即可；

（2）根據題意，建立空間直角坐標系，通過向量法求解.

（1）取PD中點為M，根據題意作圖如下：

因為E、M均為三角形PCD中兩邊中點，

則，且，

而，，

故AF//EM，且AF=EM，

則四邊形AMEF為平行四邊形.

故．

又EF不在面PAD，面PAD，

故面PAD．

（2）由題設知底面ABCD，

故PA

，又，故平面PAB

因為//AD，

故平面PAB

又面PAB

則ADAB

綜上所述：ADAB

且菱形ABCD為正方形，由AC=4，

解得正方形ABCD的邊長為.

以A為坐標原點，過點A，作BD的平行線為軸，

建立如圖空間直角坐標系，

則，則，，，

設平面PBC的法向量為，則

，即

取，又

設PD與平面PBC所成角為，則

．

故直線PD與平面PBC所成角的正弦值為.