Question

（2013•黃岡模擬）挪威數學家阿貝爾，曾經根據階梯形圖形的兩種不同分割（如圖），利用它們的面積關系發現了一個重要的恒等式一阿貝爾公式：
a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=a₁（b_1-b₂）+L₂（b₂-b₃）+L₃（b₃-b₄）+…+L_n-1（b_n-1-b_n）+L_nb_n
則其中：（I）L₃=

a₁+a₂+a₃

；（Ⅱ）L_n=

a₁+a₂+a₃+…+a_n

．

Answer 1

分析：根據a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=a₁（b₁-b₂）+L₂（b₂-b₃）+L₃（b₃-b₄）+…+L_n-1（b_n-1-b_n）+L_nb_n，分別取n=2，3求出L₂，L₃，找出規律，從而求出L_n．

解答：解：根據題意，由于利用它們的面積關系發現了一個重要的恒等式一阿貝爾公式：
a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=a₁（b₁-b₂）+L₂（b₂-b₃）+L₃（b₃-b₄）+…+L_n-1（b_n-1-b_n）+L_nb_n，
當n=2時，則a₁b₁+a₂b₂=a₁（b₁-b₂）+L₂b₂，
∴L₂=a₁+a₂，
當n=3時，則a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=a₁（b₁-b₂）+L₂（b₂-b₃）+L₃b₃，
∴L₃=a₁+a₂+a₃，
而對于該結論加以推廣可知，L_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．
故答案為：a₁+a₂+a₃，a₁+a₂+a₃+…+a_n．

點評：本題主要是考查了數列的規律性的運用，根據前幾項的規律歸納出第n項的規律，同時考查了推理的能力，屬于中檔題．