Question

已知過點A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N兩點．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）設M（x₁，y₁）；N（x₂，y₂），若O為坐標原點，且x₁•x₂+y₁y₂=12，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，直線l的斜率存在，用點斜式求得直線l的方程，根據圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，可得滿足條件的k的范圍．
（2）由題意可得，經過點M、N、A的直線方程為y=kx+1，代入圓C的方程化簡，再利用一元二次方程根與系數的關系求得x₁+x₂ 和x₁•x₂ 的值，可得y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）的值，再由x₁•x₂+y₁•y₂=12，解得k的值，從而求得直線l的方程．

解答：解：（1）由題意可得，直線l的斜率存在，
設過點A（0，1）的直線方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．…（2分）
由已知可得圓C的圓心C的坐標（2，3），半徑R=1．
故由

|2k-3+1|

k2+1

=1，解得：k1=

4- 7

3

，k2=

4+ 7

3

．
故當

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

時，過點A（0，1）的直線與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N兩點．
（2）由題意可得，經過點M、N、A的直線方程為y=kx+1，代入圓C的方程（x-2）²+（y-3）²=1，
可得 （1+k²）x²-4（k+1）x+7=0，
∴x₁+x₂=

4(k+1)

k2+1

，x₁•x₂=

7

k2+1

，
∴y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=

12k2+4k+1

k2+1

，
再由x₁•x₂+y₁•y₂=

12k2+4k+8

k2+1

=12，解得 k=1，
故直線l的方程為 y=x+1，即 x-y+1=0．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，一元二次方程根與系數的關系，屬于中檔題．