Question

對于定義在R上的函數f（x），若實數x₀滿足f（x₀）=x₀，則稱x₀是函數f（x）的一個不動點．若函數f（x）=ax²+2x+1有一個不動點，則實數a的取值集合是

{

1

4

，0}

．

Answer 1

分析：不動點實際上就是方程f（x₀）=x₀的實數根，由題意可得方程ax²+x+1=0只有一個實根，分a≠0和a=0兩種情況進行討論，屬于中檔題．

解答：解：根據題意可得方程 x=ax² +2x+1只有一個實根，即方程ax²+x+1=0只有一個實根．
∴當a≠0時，由△=1-4a=0，解得 a=

1

4

．
當a=0時，方程即x+1=0，x=-1，顯然滿足條件．
綜上可得，實數a的取值集合是 {

1

4

，0}，
故答案為 {

1

4

，0}．

點評：本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、函數與方程的綜合運用，解答該題時，借用了一元二次方程的根的判別式與根這一知識點，屬于中檔題．