Question

選做題（請考生在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做，則接所做的第一題計分）
（l）（坐標系與參數方程選做題）在直角坐標系xoy中，曲線C₁參數方程

x=cosa y=1+sina

（a為參數），在極坐標系（與直角坐標系xoy相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C₂的方程為p（cosθ-sinθ）+1=0，則曲線C₁與 C₂的交點個數為

2

．
（2）（不等式選做題）若關于x的不等式ax²-|x-1|+2a＜0的解集為空集，則a的取值范圍是

a≥

3 +1

4

．

Answer 1

分析：（1）先根據同角三角函數的關系消去參數α可求出曲線C₁的普通方程，然后利用極坐標公式ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ進行化簡即可求出曲線C₂普通方程，最后利用直角坐標方程判斷C₁與C₂的交點個數即可．
（2）分a=0，a＜0和a＞0，三種情況結合二次函數的圖象和性質分析關于x的不等式ax²-|x-1|+2a＜0的解集為空集是否有可能滿足條件，進而利用零點分段法，及二次函數的圖象和性質，可求出a的取值范圍．

解答：解：由曲線C₂的方程為p（cosθ-sinθ）+1=0，
∴x-y+1=0．即y=x+1；
將曲線C₁的參數方程化為普通方程為x²+（y-1）²=1．
∴消去y整理得：2x²-1=0．
△＞0，
∴此方程有兩個不同的實根，
故C₁與C₂的交點個數為2．
（2）當a=0時，-|x-1|＜0的解集不是空集； 這種情況舍去．
當a＜0時，因為開口向下的二次函數圖象是向下無限延伸的，所以ax²-|x-1|+2a＜0的解集不可能為空集．這種情況舍去．
當a＞0，當x≤1時，不等式ax²-|x-1|+2a＜0可化為ax²+x+2a-1＜0
由于對應函數圖象的對稱軸為x=-

1

2a

＜0，
∵關于x的不等式ax²-|x-1|+2a＜0的解集為空集，
∴f（x）min=f（-

1

2a

）=

8a2-4a-1

4a

≥0
即8a²-4a-1≥0
解得a≥

3 +1

4

當x＞1時，不等式ax²-|x-1|+2a＜0可化為ax²-x+2a+1＜0
由于對應函數圖象的對稱軸為x=

1

2a

＞0
∵關于x的不等式ax²-|x-1|+2a＜0的解集為空集，
∴f（

1

2a

）=

8a2+4a-1

4a

≥0且f（1）=3a≥0
即8a²+4a-1≥0且a＞0
解得a≥

3 -1

4

綜上所述a≥

3 +1

4

故答案為：2，a≥

3 +1

4

點評：本題（1）主要考查橢圓的參數方程、簡單曲線的極坐標方程，求直線與橢圓的交點個數，考查運算求解能力及轉化的思想，屬于基礎題．（2）的關鍵是零點分段法，及對參數a的分類討論．