Question

（13分）如圖分別是正三棱臺ABC－A₁B₁C₁的直觀圖和正視圖，O，O₁分別是上下底面的中心，E是BC中點．

    （1）求正三棱臺ABC－A₁B₁C₁的體積；

    （2）求平面EA₁B₁與平面A₁B₁C₁的夾角的余弦；

    （3）若P是棱A₁C₁上一點，求CP＋PB₁的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1） ；

（2）  ；（3） 的最小值為 

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中二面角的求解和棱臺體積公式的運用，以及線段和的最值問題的綜合運用。

（1）首先要求解三棱臺的體積，關鍵是高度和底面積，然后結合公式得到。

（2）建立適當的空間直角坐標系，表示出點的坐標和向量的坐標，進而求解二面角的平面角的問題。

（3）結合三角形的知識，求解兩邊的和的最小值，要借助于余弦定理得到。

解:（1）由題意,正三棱臺高為……..2分

………..4分

 

（2）設分別是上下底面的中心，是中點，是中點.

如圖，建立空間直角坐標系. ，， ，，，，，

設平面的一個法向量，則即

取，取平面的一個法向

量，設所求角為

則 ……..8分

（3）將梯形繞旋轉到,使其與成平角

，由余弦定理得

即的最小值為 ……..13分