Question

【題目】已知函數.

（1）若，求曲線在點處的切線的方程；

（2）若不等式 對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求導得，利用導數求得斜率為，而切點，由此求得切線方程，分別令，求得，代入后利用二次函數求最值的方法求得當時有最小值，由此求得切線方程為；（2）構造函數，利用的導數，討論函數的單調區間與最值，由此求得實數的取值范圍是.

試題解析：

（1）,切線斜率，切點為，所以切線的方程為，分別令 ，得切線與軸，軸的交點坐標為，，當，

即時， 取得最小值，但且，所以當時，取得最小值.此時，切線的方程為，即.

（2）設，則，①當時，因為在上單調遞增，不符合題意.②

當，即時，在上恒成立，在

上單調遞減，于是滿足題意.③當，即時,由,可得，由,可得，在上單調遞增，在上單調遞減，，不符合題意.綜上所述，實數的取值范圍是.