Question

已知數列{a_n}的前項和Sn=n2+2n；
（1）求數列的通項公式a_n；
（2）設Tn=

1

a1a

2+

1

a2a

3+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）數列的前n項和與第n項之間的關系，當n≥2時a_n=S_n-S_n-1，當n=1時，a₁=S₁，由此求得數列的通項公式a_n．
（2）根據通項

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，由此利用裂項法對數列進行求和．

解答：解：（1）當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1①． …（4分）
當n=1時，a1=S1=12+2×1=3，也滿足①式…（6分）
所以數列的通項公式為  a_n=2n+1．（7分）
（2）

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)…（10分）
Tn=

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

n

3(2n+3)

．…（14分）

點評：本題主要考查數列的前n項和與第n項之間的關系，用裂項法對數列進行求和，屬于中檔題．