Question

已知函數f（x）=

x+3

x+1

（x≠-1）．設數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n），數列{b_n}滿足b_n=|a_n-

3

|，S_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）用數學歸納法證明b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

；
（Ⅱ）證明S_n＜

2 3

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）我們用數學歸納法進行證明，先證明不等式b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

當n=1時成立，再假設不等式b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

當n=k（k≥1）時成立，進而證明當n=k+1時，不等式b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

也成立，最后得到不等式b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

對于所有的正整數n成立；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的結論，我們可以利用放縮法證明S_n＜

2 3

3

，放縮后可以得到一個等比數列，然后根據等比數列前n項公式，即可得到答案．

解答：證明：（Ⅰ）當x≥0時，f（x）=1+

2

x+1

≥1．
因為a₁=1，所以a_n≥1（n∈N^*）．
下面用數學歸納法證明不等式b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

．
（1）當n=1時，b₁=

3

-1，不等式成立，
（2）假設當n=k時，不等式成立，即b_k≤

( 3 -1)k

2k-1

．
那么b_k+1=|a_k+1-

3

|=

( 3 -1)|ak- 3 |

1+ak

3 -1

2

bk≤

( 3 -1)k+1

2k

．
所以，當n=k+1時，不等式也成立．
根據（1）和（2），可知不等式對任意n∈N^*都成立．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

．
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n≤（

3

-1）+

( 3 -1)2

2

+…+

( 3 -1)n

2n-1

=（

3

-1）•

1-( 3 -1 2 )n

1- 3 -1 2

＜（

3

-1）•

1

1- 3 -1 2

=

2

3

3

．
故對任意n∈N^*，S_n＜

2

3

3

．

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．