Question

如圖，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CA＝CB，AB＝AA₁，∠BAA₁＝60°.

(1)證明：AB⊥A₁C；
(2)若AB＝CB＝2，A₁C＝，求三棱柱ABC－A₁B₁C₁的體積；
(3)若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB＝CB＝2，求直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

（1）見解析（2）3（3）

(1)如圖，取AB的中點O，連接CO，A₁O.

∵CA＝CB，∴CO⊥AB，
又∵AA₁＝AB，得AA₁＝2AO，
又∠A₁AO＝60°，
∴∠AOA₁＝90°，即AB⊥A₁O，
∴AB⊥平面A₁OC，又A₁C?平面A₁OC，
∴AB⊥A₁C.
(2)∵AB＝CB＝2＝AC，∴CO＝，
又A₁A＝AB＝2，∠BAA₁＝60°，
∴在等邊三角形AA₁B中，A₁O＝，
∵A₁C²＝A₁O²＋CO²＝6，
∴∠COA₁＝90°，即A₁O⊥CO，
∴A₁O⊥平面ABC，
∴V_ABC－A1B1C1＝×2²×＝3.
(3)作輔助線同(1)
以O為原點，OA所在直線為x軸，OA₁所在直線為y軸，OC所在直線為z軸，建立如圖直角坐標系，則A(1,0,0)，A₁(0，，0)，B(－1,0,0)，C(0,0，)，B₁(－2，，0)，則＝(1,0，)，＝(－1，，0)，＝(0，－，)，設n＝(x，y，z)為平面BB₁C₁C的法向量，則即所以n＝(，1，－1)，
則cos<n，＝＝－，
所以A₁C與平面BB₁C₁C所成角的正弦值為.