Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且∠ABC=120°，AB=1，側棱PA與底面所成角為45°，設AC與BD交于點O，M為PA 的中點，OM⊥平面ABCD．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）設E是PB的中點，求三棱錐E-PAD的體積；
（3）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦．

Answer 1

分析：（1）由OM是△APC的中位線，可得PC⊥面ABCD，PC⊥BD，由底面ABCD為菱形可得AC⊥BD，從而證明BD⊥平面PAC．
（2）利用三棱錐E-PAD的體積 V_E-PAD=

1

2

V_B-PAD=

1

2

 V_P-BAD=

1

2

×

1

3

S_△ABD•PC 計算結果．
（3）作CF⊥AD，交 AD延長線于F，則PF⊥AD，過點P作AD的平行線l，可證∠CPF為平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角，利用直角三角形中的邊角關系求得cos∠CPF 的值．

解答：解：（1）證明：∵OM是△APC的中位線，∴OM∥PC，∵OM⊥面ABCD，∵PC⊥面ABCD，PC⊥BD．
又底面ABCD為菱形，∴AC⊥BD．而OM 和 AC是平面PAC內的兩條相交直線，∴BD⊥平面PAC．
（2）△ABC中，有余弦定理求得AC=

3

，∵側棱PA與底面所成角為45°，∴PC=

3

，
三棱錐E-PAD的體積 V_E-PAD=

1

2

V_B-PAD=

1

2

 V_P-BAD=

1

2

×

1

3

S_△ABD•PC
=

1

6

（

1

2

×1×1•sin60°）

3

=

1

8

． 
（3）∵PC⊥面ABCD，作CF⊥AD，交 AD延長線于F，則PF⊥AD．過點P作AD的平行線l，
則l是平面PAD與平面PBC所成銳二面角的棱，且l⊥PC，l⊥PF，
故∠CPF為平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角．
CF=DCsin60°=

3

2

，Rt△PCF中，tan∠CPF=

FC

PC

=

3 2

3

=

1

2

，
∴cos∠CPF=

2 5

5

．

點評：本題考查證明線面垂直的方法，求棱錐的體積和二面角的大小，直線與平面垂直的判定、性質的應用，找出二面角的平面角是解題的難點．