Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=±4，如果直線：3x-2y=0與橢圓的交點(diǎn)在x軸上的射影恰為橢圓的焦點(diǎn)．
(1)求橢圓方程；
(2)設(shè)直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，試探究以PF為直徑的圓與橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系；
(3)把(2)的情況作一推廣：寫(xiě)出命題（不要求證明）

Answer 1

解：(1)設(shè)橢圓方程為 (a>b>0)
直線3x-2y=0與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是，代入橢圓方程得：
  又   a²=b²+c²
∴ a=2    C=1
∴               ………………5分
(2)由(1)知，直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，F(xiàn)(1,0)，則從PF為直徑的圓的方程，圓心為，半徑為
以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的方程為x²+y²=4，圓心(0，0)，半徑為2
兩圓圓心之間距離為
∴兩圓內(nèi)切              ………………8分
P、F為其它三種情況時(shí)，兩圓都為內(nèi)切    ………………10分
(3)如果橢圓的方程是 (a>b>0)，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則以PF長(zhǎng)為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓是內(nèi)切關(guān)系。                   …………13分
（如P寫(xiě)成橢圓上的定點(diǎn)，此問(wèn)只給1分）

略