Question

橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F（c，0）（）的準線與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點 .

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若，求直線PQ的方程；

（3）設（），過點P且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點M，證明.

 

Answer 1

【答案】

（1），離心率.（2）或.（3）證明：見解析。

【解析】

試題分析：（1）由題意，可設橢圓的方程為.由已知得

解得，所以橢圓的方程為，離心率.

（2）解：由（1）可得A（3，0） .設直線PQ的方程為 .由方程組

得，依題意，得 .

設，則， ① . ②，由直線PQ的方程得

 .于是 . ③

∵，∴ .  ④，由①②③④得，從而.

所以直線PQ的方程為或.

（3）證明：.由已知得方程組

注意，解得，因，故

 .

而，所以.

考點：本題主要考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系以及平面向量的基礎知識。

點評：是一道綜合性較強的題目，較全面的考查了橢圓、直線于橢圓以及平面向量的基礎知識。解答中從聯立方程組出發，運用韋達定理，體現了整體觀，是解析幾何問題中的常見類型。