Question

20．（本小題共13分）

對于每項均是正整數的數列，定義變換，將數列變換成數列

．

對于每項均是非負整數的數列，定義變換，將數列各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數列；

又定義．

設是每項均為正整數的有窮數列，令．

（Ⅰ）如果數列為5，3，2，寫出數列；

（Ⅱ）對于每項均是正整數的有窮數列，證明；

（Ⅲ）證明對于任意給定的每項均為正整數的有窮數列，存在正整數，當時，．

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）略；（Ⅲ）略。

解析:

（Ⅰ），

，

；

，

．

（Ⅱ）證明設每項均是正整數的有窮數列為，

則為，，，，，

從而

．

又，

所以

，

故．

（Ⅲ）證明設是每項均為非負整數的數列．

當存在，使得時，交換數列的第項與第項得到數列，

則．

當存在，使得時，若記數列為，

則．

所以．

從而對于任意給定的數列，由

可知．

又由（Ⅱ）可知，所以．

即對于，要么有，要么有．

因為是大于2的整數，所以經過有限步后，必有．

即存在正整數，當時，