Question

（2013•泉州模擬）已知ω＞0，函數f（x）=sinωx•cosωx+

3

sin2ωx-

3

2

的最小正周期為π．
（Ⅰ）試求w的值；
（Ⅱ）在圖中作出函數f（x）在區間[0，π]上的圖象，并根據圖象寫出其在區間[0，π]上的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用倍角公式和兩角差的正弦公式即可化簡函數f（x）=sinωx•cosωx+

3

sin2ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx-

3

2

cos2ωx=sin(2ωx-

π

3

)，再利用周期公式即可得出ω．
（II）利用f(x)=sin(2x-

π

3

)，x∈[0，π]，找出區間端點、最大值點、最小值點及函數的零點并列對應值表，描點，并參照弦形曲線的走向特征，用光滑曲線把各對應點順次聯結起來畫圖，得函數f（x）在區間[0，π]上的圖象及其單調遞減區間．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）=sinωx•cosωx+

3

sin2ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx-

3

2

cos2ωx=sin(2ωx-

π

3

)．
因為函數f（x）的最小正周期為T=

2π

|ω|

=π，且ω＞0，
所以ω=1．
（Ⅱ）因為f(x)=sin(2x-

π

3

)，x∈[0，π]．
列對應值表：

x	0	π 6	5π 12	2π 3	11π 12	π
2x- π 3	- π 3	0	π 2	π	3π 2	5π 3
f（x）	- 3 2	0	1	0	-1	- 3 2

描點，并參照弦形曲線的走向特征，用光滑曲線把各對應點順次聯結起來畫圖，得函數f（x）在區間[0，π]上的圖象如圖所示．
根據圖象可得單調遞減區間為[

5π

12

，

11π

12

]．

點評：本小題主要考查三角恒等變型、三角函數的圖象和性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想等．