Question

對于n∈N⁺的命題，下面四個判斷：
①若f（n）=1+2+2²+…+2ⁿ，則f（1）=1；
②若f（n）=1+2+2²+…+2^n-1，則f（1）=1+2；
③若f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n+1

，則f（1）=1+

1

2

+

1

3

；
④若f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

，則f(k+1)=f(k)+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

；
其中正確命題的序號為

③④

．

Answer 1

分析：根據數學歸納法的定義分別進行判斷即可．

解答：解：①∵f（n）=1+2+2²+…+2ⁿ，∴f（1）=1+2¹=1+2=3，∴①錯誤．
②∵f（n）=1+2+2²+…+2^n-1，∴f（1）=1，∴②錯誤．
③∵f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n+1

，∴f（1）=1+

1

2

+

1

3

，∴③正確．
④∵f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

，∴f(k+1)=

1

k+2

+

1

k+3

+???+

1

3k+3

=f(k)+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+3

-

1

k+1

，∴④正確．
故答案為：③④．

點評：本題主要考查與數列有關的命題的真假判斷，利用數學歸納的定義是解決本題的關鍵．