Question

（2013•荊門模擬）下列命題中正確的是

①②③

．
①如果冪函數y=(m2-3m+3)xm2-m-2的圖象不過原點，則m=1或m=2；
②定義域為R的函數一定可以表示成一個奇函數與一個偶函數的和；
③已知直線a、b、c兩兩異面，則與a、b、c同時相交的直線有無數條；
④方程

y-3

x-2

=

y-1

x+3

表示經過點A（2，3）、B（-3，1）的直線；
⑤方程

x2

2+m

-

y2

m+1

=1表示的曲線不可能是橢圓．

Answer 1

分析：①根據冪函數的定義和性質判斷．②根據函數奇偶性的定義和性質判斷．③根據異面直線的定義和性質判斷．④根據直線方程的性質判斷．⑤根據圓錐曲線的方程進行判斷．

解答：解：①若冪函數y=(m2-3m+3)xm2-m-2的圖象不過原點，則

m2-3m+3=1 m2-m-2＜0

，解得m=1或m=2，故正確．
②若f（x）可分解為一個奇函數與一個偶函數的和，不妨設f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）為偶函數，h（x）為奇函數，則f（-x）=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x），
則聯立兩式得，g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

，此種分解方法只有一種，故②正確．
③直線a、b、c兩兩異面，則與a、b、c同時相交的直線有無數條，正確．
④方程

y-3

x-2

=

y-1

x+3

表示經過點A（2，3）、B（-3，1）的直線（不含A，B兩點），故④錯誤．
⑤若方程

x2

2+m

-

y2

m+1

=1表示的曲線是橢圓，
則滿足

2+m＞0 m+1＜0 2+m≠-(m+1)

，即

m＞-2 m＜-1 m≠- 3 2

，
解得-2＜m＜-1且m≠-

3

2

時，表示橢圓，故⑤錯誤．
故正確的是①②③，
故答案為：①②③．

點評：本題主要考查冪函數的定義，函數的奇偶性，直線的位置關系，涉及的知識點較多．