Question

如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是AB、CD的中點.

（1）求證：MN⊥AB，MN⊥CD；
（2）求MN的長；
（3）求異面直線AN與CM所成角的余弦值.

Answer 1

（1）證明略（2）MN的長為a. （3）異面直線AN與CM所成角的余弦值為

（1）設=p, =q，=r.
由題意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量兩兩夾角均為60°.
=-=（+）-
=（q+r-p），                                                         2分
∴·=（q+r-p）·p
=（q·p+r·p-p²）
=（a²·cos60°+a²·cos60°-a²）=0.
∴MN⊥AB,同理可證MN⊥CD.                                              4分
（2）由（1）可知=（q+r-p）
∴||²=²=（q+r-p）²                                                6分
=［q²+r²+p²+2（q·r-p·q-r·p）］
=[a²+a²+a²+2（--）
=×2a²=.
∴||=a,∴MN的長為a.                                            10分
(3) 設向量與的夾角為.
∵=(+)=(q+r),
=-=q-p,
∴·=（q+r）·（q-p）
=（q²-q·p+r·q-r·p）
=(a²-a²·cos60°+a²·cos60°-a²·cos60°)
=（a²-+-）=.                                            12分
又∵||=||=，
∴·=||·||·cos
=··cos=.
∴cos=，                                                          14分
∴向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為.