Question

下列四個命題中：
①a+b≥2

ab

；    
②sin2x+

4

sin2x

≥4；
③設x，y都是正數，若

1

x

+

9

y

=1，則x+y的最小值是12；
④若|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，則|x-y|＜2ε．
其中所有真命題的序號是

④

．

Answer 1

分析：對于①如a，b異號，a+b≥2

ab

不成立，對于②如sinx=0，則sin2x+

4

sin2x

≥4不成立，③設x，y都是正數，若

1

x

+

9

y

=1，則x+y=（x+y）（

1

x

+

9

y

），在x+y上乘以

y

x

+

9x

y

，按照多項式的乘法展開，然后利用基本不等式求出最小值．④利用絕對值不等式：|x-y|≤|x-2|+|y-2|＜2ε，即可進行判斷．

解答：解：①如a，b異號，a+b≥2

ab

不成立，故錯；    
②如sinx=0，則sin2x+

4

sin2x

≥4不成立，故錯；
③設x，y都是正數，若

1

x

+

9

y

=1，則x+y=（x+y）（

1

x

+

9

y

）=10+

y

x

+

9x

y

≥16，故x+y的最小值是16；故錯；
④若|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，則|x-y|≤|x-2|+|y-2|＜2ε，故|x-y|＜2ε正確．
其中所有真命題的序號是 ④．
故答案為：④．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用，利用基本不等式求函數的最值時，一定要注意不等式使用的條件：一正、二定、三相等．