Question

為了測試某種金屬的熱膨脹性能，將這種金屬的一根細棒加熱，從100℃開始第一次量細棒的長度，以后每升高40℃量一次，把依次量得的數據所成的數列{l_n}用圖象表示如圖所示．若該金屬在20℃～500℃之間，熱膨脹性能與溫度成一次函數關系，試根據圖象回答下列問題：
（Ⅰ）第3次量得金屬棒的長度是多少米？此時金屬棒的溫度是多少？
（Ⅱ）求通項公式l_n；
（Ⅲ）求金屬棒的長度l_n（單位：m）關于溫度t（單位：℃）的函數關系式；
（Ⅳ）在30℃的條件下，如果把兩塊這種矩形金屬板平鋪在一個平面上，這個平面的最高溫度可達到500℃，問鋪設時兩塊金屬板之間至少要留出多寬的空隙？

Answer 1

解：（Ⅰ）根據圖象，可知第3次量得金屬棒的長度是2.003；此時金屬棒的溫度是100+2×40=180°C
（Ⅱ）{l_n}組成以2.001為首項，0.001為公差的等差數列，所以l_n=2.001+（n-1）×0.001=0.001n+2
（Ⅲ）∵t=100+40（n-1）=40n+60
∴n=
∴l_n=0.001n+2=+2；
（Ⅳ）△l=-（）=
∴兩塊金屬板之間至少要留出米的空隙．
分析：（Ⅰ）根據圖象，可知第3次量得金屬棒的長度；利用從100℃開始第一次量細棒的長度，以后每升高40℃量一次，可得金屬棒的溫度；
（Ⅱ）{l_n}組成以2.001為首項，0.001為公差的等差數列，故可得通項公式；
（Ⅲ）利用從100℃開始第一次量細棒的長度，以后每升高40℃量一次，可得等差數列，利用（Ⅱ）的結論，考慮求得函數關系式；
（Ⅳ）根據△l=-（）=，即可得到結論．
點評：本題考查數列模型的運用，考查學生的讀圖能力，解題的關鍵是構建等差數列模型．