Question

【題目】已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M為CD的中點(diǎn)．如圖將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求證：BM⊥平面ADM；
（2）若點(diǎn)E是線段DB上的中點(diǎn)，求三棱錐E﹣ABM的體積V1與四棱錐D﹣ABCM的體積V2之比．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因?yàn)榫匦蜛BCD中，AB=2，AD=1，M為CD的中點(diǎn)，

所以 ，所以AM2+BM2=AB2，所以BM⊥AM．

因?yàn)槠矫鍭DM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，

又BM平面ABCM，且BM⊥AM，

∴BM⊥平面ADM．

（2）解：因?yàn)镋為DB的中點(diǎn)，所以 ，

又直角三角形ABM的面積 ，

梯形ABCM的面積 ，

所以 ，且 ，

所以

【解析】（1）推導(dǎo)出BM⊥AM，BM⊥AM，由此能證明BM⊥平面ADM．（2）推導(dǎo)出 ， ，且 ，由此能求出三棱錐E﹣ABM的體積V1與四棱錐D﹣ABCM的體積V2之比．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．