Question

已知兩定點,,動點滿足，由點向軸作垂線段，垂足為，點滿足，點的軌跡為.

（1）求曲線的方程;

（2）過點作直線與曲線交于,兩點，點滿足（為原點），求四邊形面積的最大值，并求此時的直線的方程.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) 直線的方程為

【解析】

試題分析：解（1）動點P滿足,點P的軌跡是以E F為直徑的圓，動點P的軌跡方程為.設M(x,y)是曲線C上任一點，因為PMx軸，，點P的坐標為（x，2y）, 點P在圓上，  ，

曲線C的方程是 .

（2）因為，所以四邊形OANB為平行四邊形，

當直線的斜率不存在時顯然不符合題意；

當直線的斜率存在時，設直線的方程為y=kx-2，與橢圓交于兩點，由得

，由，得，即

     10分

令

，，解得,滿足,

，（當且僅當時“=”成立），

當平行四邊形OANB面積的最大值為2.

所求直線的方程為

考點：圓錐曲線方程的求解和運用

點評：主要是考查了運用代數的方法來通過向量的數量積的公式，以及聯立方程組，結合韋達定理來求解，屬于中檔題。