Question

（填空題壓軸題：考查函數的性質，字母運算等） 
設函數f（x）的定義域為D，如果存在正實數k，使對任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數f（x）為D上的“k型增函數”．已知f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）為R上的“2011型增函數”，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意可以得到f(x)=

|x-a|-2a   x＞0 -|x+a|+2a ，x＜0

再由定義存在正實數k，使對任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數f（x）為D上的“k型增函數”．對所給的問題分自變量全為正，全為負，一正一負三類討論，求出參數所滿足的共同范圍即可．

解答：解：∵f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=|x-a|-2a，
∴f(x)=

|x-a|-2a   x＞0 -|x+a|+2a ，x＜0

又f（x）為R上的“2011型增函數”，
當x＞0時，由定義有|x+2011-a|-2a＞|x-a|-2a，即|x+2011-a|＞|x-a|，其幾何意義為到點a小于到點a-2011的距離，由于x＞0故可知a+a-2011＜0得a＜

2011

2

當x＜0時，分兩類研究，若x+2011＜0，則有-|x+2011+a|+2a＞-|x+a|+2a，即|x+a|＞|x+2011+a|，其幾何意義表示到點-a的距離小于到點-a-2011的距離，由于x＜0，故可得-a-a-2011＞0，得a＜

2011

2

；若x+2011＞0，則有|x+2011-a|-2a＞-|x+a|+2a，即|x+a|+|x+2011-a|＞4a，其幾何意義表示到到點-a的距離與到點a-2011的距離的和大于4a，當a≤0時，顯然成立，當a＞0時，由于|x+a|+|x+2011+a|≥|-a-a+2011|=|2a-2011|，故有|2a-2011|＞4a，必有2011-2a＞4a，解得a＜

2011

6

  綜上，對x∈R都成立的實數a的取值范圍是 a＜

2011

6

故答案為：a＜

2011

6

．

點評：本題考查奇偶性與單調性的綜合，解題的關鍵是根據函數的奇函數的性質求出函數的解析式，理解本題中所給的定義，以及根據函數解析式對問題分為三部分來求解，最后求出三部分中的公共部分的取值范圍作為實數a的取值范圍是本題中的一個疑點，也是易錯點，一般分類求解都是求并集，而本題因為是研究的定義域各個部分上成立的參數的范圍，故在整個定義域上都成立的參數的范圍應該是三部分中都成立的范圍的公共部分，對此邏輯關系一定要理解清楚．題后可以找一些分類討論的題對比著題設條件好好理解領會一下．