Question

已知A、B分別是x軸和y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足|AB|=2，點(diǎn)P在線段AB上且，設(shè)點(diǎn)P的軌跡方程為C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)M、N是曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，求△QMN的面積S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)分別為（a，0）、（0，b）、（x，y），由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式及|AB|=2建立軌跡方程．
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），得到MN的長(zhǎng)度，求出點(diǎn)Q到直線MN的距離，代入面積公式運(yùn)算，應(yīng)用點(diǎn)M在曲線C上，并結(jié)合基本不等式求出面積的最大值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)分別為（a，0）、（0，b）、（x，y），
則即
由|AB|=2得a²+b²=4，
所以曲線C的方程為．（5分）
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），
則．
當(dāng)x₁≠0時(shí)，設(shè)直線MN的方程為，
則點(diǎn)Q到直線MN的距離，
∴△QMN的面積．（11分）
∴．
又∵，
∴．
∴S²=4-9x₁y₁．
而，
則-9x₁y₁≤4．
即．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
即時(shí)，“=”成立．
當(dāng)x₁=0時(shí)，，
∴△QMN的面積．
∴S有最大值．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，直線和圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用．