Question

【題目】已知，為常數，函數.

（1）當時，求關于的不等式的解集；

（2）當時，若函數在上存在零點，求實數的取值范圍；

（3）對于給定的，且，，證明:關于的方程在區間內有一個實數根.

Answer 1

【答案】（1）當時，不等式的解集為或；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為或；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）當時，，分，，三種情況討論，求不等式的解集；

（2）當時，，其圖象的對稱軸為.分，，三種情況討論，即求實數的取值范圍；

（3）設.由，得.對于給定的，且，，得在區間上單調，故在區間上有且只有一個零點，即方程在區間內有一個實數根.

（1）當時，.

當，即時，由得或，

不等式的解集為或.

當，即時，恒成立，不等式的解集為.

當，即時，由得或，

不等式的解集為或.

綜上，當時，不等式的解集為或；

當時，不等式的解集為；

當時，不等式的解集為或.

（2）當時，，其圖象的對稱軸為.

當，即時，在上單調遞增，

在上存在零點，，即得.

.

當，即時，在上存在零點，

或或或，

解得或或或或.

.

當，即時，在上單調遞減，

在上存在零點，，即得.

.

綜上，.

實數的取值范圍為.

（3）設.

當給定時，為定值.

,

.

又對于給定的，且，，

在區間上單調，即在區間上單調，

在區間上有且只有一個零點，

即方程在區間內有一個實數根.