Question

已知曲線C1：y=

1

3

x3-3x+

4

3

，曲線C2：y=x2-

9

2

x+m，若當x∈[-2，2]時，曲線C₁在曲線C₂的下方，則實數m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意當x∈[-2，2]時，曲線C₁在曲線C₂的下方，則可構造出函數F（x）=x2-

9

2

x+m-

1

3

x3+3x-

4

3

，問題可以轉化為F（x）＞0在x∈[-2，2]上恒成立

解答：解：令F（x）=x2-

9

2

x+m-

1

3

x3+3x-

4

3

，故F（x）＞0在x∈[-2，2]上恒成立
∵F'（x）=-x²+2x-

3

2

＜0恒成立
∴F（x） 在[-2，2]上單調遞減，
∴F（2）=m-3＞0，得m＞3
故答案為m＞3

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值，解答本題的關鍵是構造出新函數，將圖形的位置關系問題用新函數的函數值恒為正來表示，再利用導數研究出新函數的最小值，令其最小值大于0，即可得出實數m的取值范圍，根據問題構造新函數，這是數學解題中的一個技巧，根據實際情況恰當轉化，用到了轉化化歸的思想．