Question

如圖，已知F₁、F₂分別為橢圓的上、下焦點，其中F₁也是拋物線C₂∶x²＝4y的焦點，點M是C₁與C₂在第二象限的交點，且

(I)求橢圓C₁的方程；

(II)已知點P(1，3)和圓O∶x²＋y²＝b²，過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足∶，(λ≠0且λ≠±1)，求證∶點Q總在某條定直線上．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)解法一∶令M為，因為M在拋物線上，

　　故，①又，則　②

　　由①②解得，

　　橢圓的兩個焦點為，，點M在橢圓上，由橢圓定義，得

　　

　　，又，

　　橢圓的方程為

　　解法二∶同上求得M，而點M在橢圓上，故有，即

　　又，即，解得

　　橢圓的方程為

　　(2)證明∶設，，

　　由，可得

　　即

　　由，可得

　　即

　　⑤×⑦得，　⑥×⑧得

　　兩式相加，得

　　又點A，B在圓上，，且

　　即，故點Q總在直線上