Question

如圖,直線AB為圓的切線,切點為B,點C在圓上,∠ABC的角平分線BE交圓于點E,DB垂直BE交圓于點D.
(1)證明:DB=DC;
(2)設(shè)圓的半徑為1,BC=,延長CE交AB于點F,求△BCF外接圓的半徑.

Answer 1

（1）（看下面的證明過程）
（2）

(1)證明:連結(jié)DE,交BC于點G.

因為DB⊥BE,所以DE為直徑,∠DCE=∠DBE=90°
由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.
而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,
所以∠CBD=∠BCD（等角的余角相等）
所以DB=DC.
(2)由(1)知，∠CDE=∠BDE，DB=DC,
故DG是BC的中垂線，所以BG=
設(shè)DE的中點為O,連結(jié)BO,則∠BOG=60°.從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圓的半徑等于.