Question

已知函數(shù)，，
⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
⑵記函數(shù)，當時，在上有且只有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍；
⑶記函數(shù)，證明：存在一條過原點的直線與的圖象有兩個切點

Answer 1

（1）當時，為單調(diào)增區(qū)間，當時，為單調(diào)減區(qū)間， 為單調(diào)增區(qū)間．
（2）
（3）在第二問的基礎上，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及導數(shù)的幾何意義來證明。

試題分析：（1）因為，
①若，則，在上為增函數(shù)，2分 ②若，令，得，
當時，；當時，．
所以為單調(diào)減區(qū)間，為單調(diào)增區(qū)間． 綜上可得，當時，為單調(diào)增區(qū)間，
當時，為單調(diào)減區(qū)間， 為單調(diào)增區(qū)間．  4分
（2）時，，
，  5分
在上有且只有一個極值點，即在上有且只有一個根且不為重根，
由得，
（i），，滿足題意；…… 6分
（ii）時，，即；… 7分
（iii）時，，得，故； 綜上得：在上有且只有一個極值點時，． ………8分注：本題也可分離變量求得．
（3）證明：由（1）可知：
（i）若，則，在上為單調(diào)增函數(shù)，
所以直線與 的圖象不可能有兩個切點，不合題意． 9分
（ⅱ）若，在處取得極值．
若，時，由圖象知不可能有兩個切點．10分
故，設圖象與軸的兩個交點的橫坐標為（不妨設），
則直線與的圖象有兩個切點即為直線與和的切點．，，
設切點分別為，則，且
，，，
即   ① ,    ② ,   ③ ,
①-②得：，
由③中的代入上式可得：，即，12分
令，則，令，因為，，故存在，使得，
即存在一條過原點的直線與的圖象有兩個切點．14分
點評：主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用，屬于難度題。