Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，判斷并說明函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).若函數(shù)所有零點(diǎn)均在區(qū)間內(nèi)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）存在兩個(gè)零點(diǎn)，且，；的最小值為.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)的不同取值進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，求出函數(shù)的單調(diào)性即可；

（2）根據(jù)，結(jié)合的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類討論求解即可.

（1）的定義域?yàn)?/span>

當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增:

當(dāng)時(shí)，

所以在上單調(diào)遞增:

當(dāng)時(shí)，令，

得，（舍）

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，

所以在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增:

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

，

則，故不存在零點(diǎn):

當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減，

所以

所以，單調(diào)遞增，

又

所以存在唯一，使得

當(dāng)時(shí)，，，

所以單調(diào)遞減，

，

所以，存在使得

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減， .

又，

因此，在上恒成立，

故不存在零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，

所以單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>，

所以單調(diào)遞減，

又，

所以存在唯一，使得.

當(dāng)時(shí)，，

故不存在零點(diǎn).

綜上，存在兩個(gè)零點(diǎn)，且，

因此的最小值為.