Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線y=

1

4

x2的焦點，離心率為

2 5

5

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求證：λ₁+λ₂=-10．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的方程，把拋物線方程整理成標準方程，求得焦點的坐標，進而求得橢圓的一個頂點，即b，利用離心率求得a和c關系進而求得a，則橢圓的方程可得．
（2）先根據橢圓的方程求得右焦點，設出A，B，M的坐標設出直線l的方程代入橢圓方程整理后利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而根據

MA

，

MB

，

AF

和

BF

利用題設條件求得λ₁和λ₂的表達式，進而求得λ₁+λ₂．

解答：解：（1）解：設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
拋物線方程化為x²=4y，其焦點為（0，1）
則橢圓C的一個頂點為（0，1），即b=1
由e=

c

a

=

a2-b2 a2

=

2 5

5

，∴a²=5，
所以橢圓C的標準方程為

x2

5

+y2=1
（2）證明：易求出橢圓C的右焦點F（2，0），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），顯然直線l的斜率存在，
設直線l的方程為y=k（x-2），代入方程

x2

5

+y2=1并整理，
得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0
∴x1+x2=

20k2

1+5k2

，x1x2=

20k2-5

1+5k2

又，

MA

=(x1，y1-y0)，

MB

=(x2，y2-y0)，

AF

=(2-x1，-y1)，

BF

=(2-x2，-y2)，而

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，
即（x₁-0，y₁-y₀）=λ₁（2-x₁，-y₁），（x₂-0，y₂-y₀）=λ₂（2-x₂，-y₂）
∴λ1=

x1

2-x1

，λ2=

x2

2-x2

，
所以λ1+λ2=

x1

2-x1

+

x2

2-x2

=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

=-10

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題的能力，知識的遷移能力以及運算能力．