Question

設函數.
（1）求函數的單調區間；
（2）當時，是否存在整數，使不等式恒成立？若存在，求整數的值；若不存在，請說明理由；
（3）關于的方程在上恰有兩個相異實根，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）函數的遞增區間是；減區間是；
（2）存在整數，且當時，不等式在區間上恒成立；
（3）實數的取值范圍是.

試題分析：（1）先求出函數的定義域，然后求出導數，利用導數求出函數的增區間與減區間；（2）利用參數分離法將問題轉化為與在區間上同時恒成立，求出的取值范圍，最終確定整數的值；（3）構造新函數，并利用導數確定函數在區間上的單調性，利用極值與端點值的將問題“關于的方程在上恰有兩個相異實根”進行等價轉化，列出有關參數的不等式組，從而求出參數的取值范圍.
試題解析：（1）由得函數的定義域為，
。                  2分
由得由
函數的遞增區間是；減區間是；          4分
（2）由（1）知，在上遞減，在上遞增；
                           5分
又且
時，                 7分
不等式恒成立，
即
是整數，
存在整數，使不等式恒成立        9分
（3）由得
令則 
由
在[0,1]上單調遞減，在[1,2]上單調遞增             10分
方程在[0,2]上恰有兩個相異實根
函數在和上各有一個零點，

實數m的取值范圍是            14分