Question

已知拋物線、橢圓和雙曲線都經過點M(1，2)，它們在：軸上有共同焦點，橢圓和雙曲線的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點是坐標原點．

(1)求這三條曲線的方程；

(2)且是拋物線上任意一點，已知點P(3，0)，是否存在垂直于x軸的直線l被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值?若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)設拋物線方程為y²=2px(p＞0)將M(1,2)代入方程p=2,故拋物線方程為y²=4x 

由題意知橢圓和雙曲線的焦點為F₁(-1，0)，F₂(1，0)

所以：c=1，c′=1 

對于橢圓，2a=|MF₁|+|MF₂|

=

=

∴a=1+，a²=3+，∴b²=a²-c²=2+

∴橢圓的方程為=1 

對于雙曲線：

2a′=||MF₁|-|MF₂||

=

=-2

∴a′=-1，a²=3-,∴b′²=c′²-a′²=-2

∴雙曲線的方程為 

(2)假設存在直線l，其方程為x=m,設AP的中點為C，以AP為直徑的圓交l于D、E兩點，DE的中點為H.

令A(x₁,y₁),則C()

∴|DC|=|AP|=，

|CH|=|x₁-2m+3|

∴|DH|²=|DC|²-|CH|²

=[(x₁-3)²+]-(x₁-2m+3)²

=(m-2)x₁-m²+3m 

當m=2時，|DH|²=-4+6=2為定值，即弦長DE為一定值，此時l的方程為x=2

所以，存在直線l:x=2滿足條件.