Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若為曲線上兩點(diǎn)， 求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增； 當(dāng) 時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng) 時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（Ⅱ）要證, 即證 ；即證,構(gòu)造新函數(shù)，研究函數(shù)的最值即可.

（Ⅰ），

；

當(dāng) 時(shí)， ， 在 上單調(diào)遞增；

當(dāng) 時(shí)，令 ，得 ，令 ，得 ；

所以，當(dāng) 時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng) 時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，

的單調(diào)遞減區(qū)間為 .

（Ⅱ）要證

即證

即證 ；

即證；

令，構(gòu)造函數(shù)，

則，

所以 在上單調(diào)遞增;

，即成立，所以成立，

所以 成立.