Question

若函數f(x)=

2(a-1)x2+bx+(a-1)-1

的定義域為R，則b-3a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，-3]
• B、[-3，+∞）
• C、（-∞，3]
• D、[3，+∞）

Answer 1

分析：根據題意，由根式的意義，可將原題轉化為2^{（a-1）x2+bx+（a-1）}≥1對于任意x∈R恒成立問題，進而由指數的性質，可變形為t=（a-1）x²+bx+（a-1）≥0恒成立問題，由二次函數的性質，分兩種情況討論，可進一步轉化為利用線性規劃求最值的問題，分析可得答案．

解答：解：根據題意，若函數f(x)=

2(a-1)x2+bx+(a-1)-1

的定義域為R，
則2^{（a-1）x2+bx+（a-1）}≥1對于任意x∈R恒成立，
令t=（a-1）x²+bx+（a-1），
由指數函數的性質，即可轉化為t=（a-1）x²+bx+（a-1）≥0恒成立，
由二次函數的性質，分析可得，必有
①當a=1時，b=0，則b-3a=-3，
②當a≠1時，有

a＞1 b2≤4(a-1)2

同時成立，
即

a＞1 -2(a-1)≤b≤2(a-1)

成立，
設Z=b-3a，
Z是直線b=3a+t經過

a＞1 -2(a-1)≤b≤2(a-1)

確定的平面上的一點時在y軸上的截距，
由線性規劃的知識可得，Z＜3，
綜合①可得，Z=b-3a≤3，
故b-3a的取值范圍是（-∞，-3]，
故選A．

點評：本題是綜合題，涉及知識點較多，有一定的難度，解題關鍵在于轉化為線性規劃問題來求Z=b-3a的范圍．