Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點
（1）證明：AD⊥D₁F；
（2）求AE與D₁F所成的角；
（3）證明：面AED⊥面A₁FD₁．

Answer 1

分析：（1）欲證明：AD⊥D₁F，可通過證明線面垂直得到，故先證AD⊥面DC₁，即可；
（2）欲求AE與D₁F所成的角，必須先找出求AE與D₁F所成的角，利用正方體中平行線，即可知道是∠AHA₁是AE與D₁F所成的角即為所求，最后利用證三角形全等即得．
（3）欲證明：面AED⊥面A₁FD₁．根據面面垂直的判定定理知，只須證明線面垂直：D₁F⊥面AED，即得．

解答：解：（1）∵AC₁是正方體
∴AD⊥面DC₁，
又D₁F?面DC₁，
∴AD⊥D₁F
（2）取AB中點G，連接A₁G，FG，
∵F是CD中點
∴GF

∥ .

.

AD又A1D1

∥ .

.

AD
∴GF

∥ .

.

A1D1∴GFD1A1是平行四邊形∴A1G∥D1F設A1G∩AE=H
則∠AHA₁是AE與D₁F所成的角
∵E是BB₁的中點∴Rt△A₁AG≌Rt△ABE
∴∠GA₁A=∠GAH∴∠A₁HA=90°即直線AE與D₁F所成角是直角
（3）∵AD⊥D₁F（（1）中已證）
AE⊥D₁F，又AD∩AE=A，∴D₁F⊥面AED，又∵D₁F?面A₁FD₁，
∴面AED⊥面A₁FD₁

點評：本題主要考查了異面直線及其所成的角、平面與平面垂直的判定，以及空間想象力、轉化思想方法，屬于中檔題．