Question

設(shè)函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為，且函數(shù)為偶函數(shù)．若函數(shù)滿足下列條件：①；②對一切實數(shù)，不等式恒成立．

（Ⅰ）求函數(shù)的表達式；

（Ⅱ）求證：．

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知得：．               ……………1分

由為偶函數(shù)，得為偶函數(shù)，

顯然有．                                          …………2分

又，所以，即．               …………3分

又因為對一切實數(shù)恒成立，

即對一切實數(shù)，不等式恒成立．     …………4分

顯然，當時，不符合題意．                           …………5分

當時，應滿足

注意到 ，解得．                       …………7分

所以．                            ……………8分

（Ⅱ）證明：因為，所以．………9分

要證不等式成立,

即證．                     …………10分

因為,                 …………12分

所以

．

所以成立．                 ……………14分