Question

已知函數(shù)f(x)＝ax2－ln x，x∈(0，e]，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R.

(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間為，極小值為＋ln 2.無極大值（2）a＝

【解析】(1)∵f(x)＝x2－ln x，f′(x)＝2x－＝，x∈(0，e]，

令f′(x)＞0，得＜x＜e，

f′(x)＜0，得0＜x＜，

∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間為.

∴f(x)的極小值為f ＝－ln ＝＋ln 2.無極大值．

(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)＝ax2－ln x，x∈(0，e]有最小值3，

f′(x)＝2ax－＝.

①當(dāng)a≤0時(shí)，x∈(0，e]，所以f′(x)＜0，所以f(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，

∴f(x)min＝f(e)＝ae2－1＝3，a＝ (舍去)．

②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＝0，得x＝ ，

(ⅰ)當(dāng)0＜ ＜e，即a＞時(shí)，

f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴f(x)min＝f＝－ln＝3，得a＝.

(ⅱ)當(dāng)≥e，即0＜a≤時(shí)，x∈(0，e]時(shí)，f′(x)＜0，

所以f(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，

∴f(x)min＝f(e)＝ae2－1＝3，a＝(舍去)，此時(shí)f(x)無最小值．

綜上，存在實(shí)數(shù)a＝，使得當(dāng)x∈(0，e]時(shí)，f(x)有最小值3.